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解这一种题目的基本原理有两个：
（a）两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的“11”
倍。
如83加38得121，便是它的两数字8同3的和11的“11”
倍。
（b）两位数和它的两数字对调后所成的数的差，等于它的两数字差的“9”
倍。
如83减去38得45，便是它的两数字8同3的差5的“9”
倍。
运用这第二个原理到上面所举的例题中，因为从原数中减十八所得的数恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，可知原数和两数字对调后所成的数的差为18，而原数的两数字的差为18÷9=2。
题上又说原数的两数字的和为6，应用和差算的法则便得：
（6+2）÷2=4——十位数字，（6-2）÷2=2——个位数字，而原数为42。
解这类题目的两个基本原理，是怎样来的呢？现在我们来考察一下。
这式子最后的一段中，（8+3）正是83的两数字的和，用11去乘它，便得出“11”
倍来，但这11是从10加1来的，10是十进记数法的底数。
这式子最后的一段中，（8-3）正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”
倍来。
但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。
将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a1，个位数字为a2，则这两位数为a1r+a2，而它的两位数字对调后所成的数为a2r+a1。
所以
第一原理（a）应当这样说：
两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的（r+1）倍。
r是记数法的底数，在十进法为10，故（r+1）为“11”
；在十二进法为12，故（r+1）为13（照十进法说的），在十二进位法中便也是11（一什一）。
第二原理（b）应当这样说：
两位数和它的两数字对调后所成的数的差等于它的两数字差的（r-1）倍，在十进法为“9”
，在十二进法为“e”
。
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