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设若y是变数x的一个函数，照一般的写法：
对于每一个x的值，y的相应值假如也知道了，那么，函数f（x）对于x的积分是什么东西呢？
因为积分法就是诱导函数法的反方法，那么，要将一个函数f（x）积分，无异于说：另外找一个函数，比如是f（x），而这个函数不可以随便拿来搪塞，f（x）的诱导函数必须恰好是函数f（x）。
这正和我们知道了3和5要求8用加法，而知道了8同5要求3用减法是一样的，不是吗？在代数里面，减法精密的定义就得这样：“有a和b两个数，要找一个数出来，它和b相加就等于a，这种方法便是减法。”
前面已经说过的积分法，我们再来做个例子。
我们先选好一段变数的间隔，比如，有了起点O，又有x的任意一个数值。
我们就将O和x当中的间隔分成很小很小的小间隔，一直到可以用Δx表示。
在每一个小小的间隔里，我们随便选一个x的值x1、x2、x3……
因为函数f（x）对于x的每一个值都有相应的值，它相应于x1、x2、x3……的值我们可以用f（x1）、f（x2）、f（x3）……来表示，那么这总和就应当是：
在这个式子里面Δx越小，也就是我们将Ox分的段数越多，它的项数跟着也就多起来，但是每项的数值却越来越小了。
这样我们不是又可以得出另外一个不同的总和来了吗？假如继续不断地照样做下去，逐次新做出来的总比前一次精确些。
到了极限，这个和就等于我们要找的F（x）了。
所以积分法，就是要求一个总和。
F（x）是f（x）的积分，掉过来f（x）就是F（x）的诱导函数，由前面的微分的表示法：
若把一个S拉长了写成“∫”
这个样子，作为积分的符号，那么F（x）和f（x）的关系又可以这样表示：
第一、第二两个式子的意义虽然不相同，但表示的两个函数的关系却是一样的，这恰好和“赵阿狗是赵阿猫的爸爸”
和“赵阿猫是赵阿狗的孩子”
一样。
意味呢，全然两样。
但“阿狗”
“阿猫”
都姓赵，而且“阿狗”
是爸爸，“阿猫”
是孩子，这个关系，在两句话当中总是一样地包含着。
讲诱导函数的时候，先用运动来做例，再从数学上的运用去研究它。
积分法，除了知道速度，去求一种运动的法则以外，还有别的用场没有呢？
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