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第二节项目参数的条件估计
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所谓参数的条件估计，就是在某些参数已经确定的条件下，估计模型中的未知参数。
在认知诊断评价理论模型中，参数的条件估计有两种情形：一种是在被试属性掌握模式等参数已经确定的条件下，估计模型中的项目参数；另一种情形就是，在项目参数已经确定的条件下，估计被试属性掌握模式等参数。
项目参数的条件估计方法主要有两种：一种就是基于已经确定的被试参数条件，利用样本作答反应数据，直接求取基于项目反应函数的似然函数极大值点对应的项目参数，称为经典条件估计；另一种是基于边际分布的极大似然估计方法，称为边际极大似然估计（marginalmaximumlikelihoodestimation，MMLE）。
本节只介绍边际极大似然估计及其EM算法。
一、边际分布
边际极大似然估计仍然是在极大似然估计方法的架构之下估计项目参数，但是在提供被试参数作为已知信息时，结合了贝叶斯统计思想。
边际极大似然估计是以边际分布（marginaldistribution）为基础的。
因此，我们首先需要明白边际分布的概念。
首先看一下表7-1。
表7-1边际分布示意表
表7-1包含了两个离散型变量：变量ξ和变量η。
pij为两个变量的联合分布列，而联合分布列的右侧一列，即pi·是由第i行pij对j相加得到，它表示变量ξ的分布列，相应地，在联合分布列的低端一行，即p·j是由第j列pij对i相加得到，它表示变量η的分布列。
通过这种表示方式，变量ξ和η各自的分布列就在联合分布列（ξ，η）的边上，因而，人们就形象地称变量ξ和η各自的分布列是联合分布列（ξ，η）的边际分布。
由以上可以知道，如果已经知道二维变量的联合分布列，那么，单个分量的边际分布列也就可以根据联合分布列得到。
当然，已知所有单个变量的分布列，却并不能唯一确定两个变量的联合分布列，这一点，从表7-1中也是容易直观地看出来的。
现在回到项目参数的估计问题上来。
假设已获得n个被试在m个项目上的测验作答得分矩阵U，共包括r种不同的被试作答反应模式（respoern，由于有些作答反应模式可能重复出现，因此r不一定等于n），记第1种作答反应模式为ul（l=1，2，…，r）。
那么，对于属性掌握模式为αv（v=1，2，…，2K；K为测验属性个数）的被试，其得到作答反应模式为ul（作答反应模式个数不一定等于属性掌握模式个数，因为有些属性掌握模式对应的作答反应模式可能没有实际出现）的概率为：
如果借鉴贝叶斯统计思想，把得到作答反应模式ul的被试属性掌握模式αv看作来自一个已知分布的随机变量，而不是某个固定的常数。
这时，由于随机变量可以取各种不同的值，当然，根据该随机变量的已知分布，各种取值的概率是不一样的（均匀分布除外），而且各种取值对于得到某个具体的作答模式ul的概率也是不一样的。
假设该已知分布的密度函数为g（αv），这也就是属性掌握模式αv的先验分布，于是，就可以得到来自随机变量的某个属性掌握模式αv在作答反应模式ul上的概率函数为：
进一步地，可以得到关于某作答反应模式ul的边际概率函数（unarginalprobability）如下：
然而，由于属性掌握模式αv的概率分布是离散的，因此，根据αv的先验分布g（αv）对所有可能的属性掌握模式的条件似然函数进行加权累加，这相当于基于单维连续变量的条件似然函数的积分过程。
于是式（7-10）重写为：
其实，即使是连续变量的积分，在计算机实现的过程中，也总是会转换为加权累加的形式。
比如，对项目反应理论中的连续变量——被试能力水平进行积分时，在计算机实际实现过程中，无穷积分一般就会采用基于有限积点（quadraturepoints）和相应积点系数（ts）或权重（weight）的高斯-厄米特（Gauss-Hermite）数值积分算法进行近似估计。
对于正态密度函数，经验上一般会在某个合理范围内，采集40个积点，包括20个正积点、20个负积点，对积分进行近似计算。
于是，式（7-10）总是可以转换成如式（7-12）所示的用高斯-厄米特数值积分算法进行的近似估计：
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