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回答这个基础问题是图灵在1935年给自己立下的艰巨挑战，而他以令人难以置信的惊人速度解答出来了。
一想到深奥的数学问题，我们很容易就会认为解决它们的方法是冗长而复杂的，涉及大篇幅的方程式和证明过程。
有时候，事实的确是这样，例如英国数学家安德鲁·威尔斯（AndrewWiles）在20世纪90年代论证著名的费马大定理，数学界花费了好几年时间才消化了他那几百页的手稿，并确信他的论证是正确的。
按照这样的标准，图灵解决判定问题的方案简直是颠覆性的。
与大家想象中的不同，图灵的证明短小精悍，而且很容易读懂（在确立了基本框架以后，真正的证明实际上只有几行）。
重点在于，图灵意识到，他需要一个精准定义解决问题方法的方案，为此，他发明了一种可以解决数学问题的机器，如今，为了纪念他，我们称之为图灵机。
图灵机是一种对方法的具体描述，比如上文提到的检查质数的步骤。
图灵机的作用是严格遵循既定的步骤执行运算。
在此，我要强调的是，尽管图灵将它称为“机器”
，但在那时它只是个抽象的数学概念。
通过发明一台机器来解决一个艰深的数学问题，这种想法相当颠覆传统，当年的数学家们肯定都被搞迷糊了。
图灵机就如强悍的神兽，任何你能想出来的数学方法都可以被编码成图灵机。
因此，如果所有的判定问题都是可以解决的，就意味着任何判定问题都可以通过设计一个专用的图灵机来解决。
也就是说，为了解答希尔伯特的问题，你所要做的是，证明存在某种判定问题是任何图灵机都无法解决的。
这正是图灵证明这一命题的方法。
接下来，图灵耍了点小把戏，让他的机器摇身一变，成为能够解决通用问题的机器。
他设计了一种图灵机，可以按照人们给它的任意方法进行运算，现在我们把它称为通用图灵机[4]。
一台计算机最核心也最基础的部分，就是一台真正的通用图灵机。
计算机所运行的程序，本质上就是运算的步骤，类似前文我们提到的确认质数的步骤。
尽管这不是我们故事的重点，但至少得提出来图灵是怎么用它的新发明解决判定问题的。
除了惊叹于他精巧独到的心思，我们还应该意识到，它跟人工智能最终是否可能存在有着密切关系。
图灵的构想是存在这样一台图灵机，可以用来判定任意图灵机的运行结果。
他考虑了以下问题：给定一台图灵机和相关输入集，它最终是会停止，还是永无止境地运行下去？这就是一个判定问题了，属于我们前文讨论过的范畴，尽管它相对复杂一些。
现在，假设存在一个机器能够判定这个判定问题，图灵指出，这个假设会引起悖论[3]。
因此，没有办法检测出图灵机是否停止。
那么，“图灵机是否停止”
是一个不可判定问题。
所以图灵得出结论：存在某些判定问题不能简单地按照确定的步骤来解决。
他解决了希尔伯特的难题：数学并不能被简化为遵循方法解决问题[5]。
这一结果是20世纪数学界最伟大的成就之一，单凭它就足以让图灵在数学界名垂青史。
但更伟大的是它的副产物——通用问题解决机器，即图灵机。
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