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四无限小的变数诱导函数(第4页)

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但是,我们已经看明白了,要想求出一个速度的精准值,必须要用到“无限小”

的量,以及它们的相互关系。

上面已经讲过,这种关系是可以有一个一定的极限的。

而这个极限呢,又恰巧可以表示出我们所设想的一刹那时间的速度。

所以,在我们的脑海里,和芝诺就有点儿不同了!

那两支矢在一刹那的时间,它们的速度并不等于零:每支都保持各自的速度,在同一刹那的时间,快的一支的速度总比慢的一支的速度大一倍。

把芝诺的思想,用我们的话来说,得出这样一个结论:他推证出来的好像是两个无限小的量,它们的关系必须等于零。

对于无限小的时间,照他想来,那相应的距离总是零,这你会觉得有点儿可笑了,是不是?但这也不能全怪芝诺,在他活着的时候,什么极限呀、无限小呀,这些观念都还没有规定清楚呢。

速度这东西,我们把它当作距离和时间的一种关系,所以在我们看来,那飞矢总是动的。

说得明白点儿,就是:在每一刹那,它总保持一个并不等于零的速度。

好了!

关于芝诺的话,就此停止吧!

我们来说点儿别的吧!

你学过初等数学,是不是?你还没有全忘掉吧!

在这里,就来举一个计算诱导函数的例子怎么样?先选一个极简单的运动法则,好,就用你的弟弟在大门外爬的那一个例子:

无论在哪一刹那t,最后他所爬的距离总是:

我们就来计算你的弟弟在地上爬时,这一刹那的速度,就是找空间d对于时间t的诱导函数。

设若有一个极小极小的时间间隔Δt,就是说刚好接连着t1的一刹那t1+Δt,在这时候,那运动着的点,经过了空间Δd,它的距离就应当是:

这个小小的距离Δd,我们要用来做成这个比?d?t的,所以我们可以?t先把它找出来。

从(3)式的两边减去d1便得:

但是第(2)式告诉我们说d1=5t1,将这个关系代进去,我们就可以得到:

在时间Δt当中的平均速度,前面说过是?d?t,我们要找出这个比等?t于什么,只需将Δt除前一个式子的两边就好了。

从这个例子(?d)看来,无论Δt怎样减小,总是一个常数。

因此,?t即使我们将Δt的值尽量地减小,到了简直要等于零的地步,那速度V的值,在t1这一刹那,也是等于5,也就是诱导函数等于5,所以:

这个式子表明无论在哪一刹那,速度都是一样的,都等于5。

速度既然保持着一个常数,那么这运动便是等速的了。

不过,这个例子是非常简单的,所以要求出它的结果也非常容易。

至于一般的例子,那就往往很麻烦,做起来并不像这般轻巧。

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