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这无法提供一个恆定的约束,变量太多,无法得出確定的上界。
】
【那四染色法呢?根据坐標的奇偶性將棋盘染成四种顏色?】他继续思考,【这是一种更强的工具,在处理多米诺骨牌问题时有奇效。
但对於l形骨牌……它的形状不规则,旋转后占据的顏色组合依然会变化,还是很难找到那个简洁的不变量。
】
他知道,这道题的標准解法之一,就是通过一种更复杂的行染色或列染色,结合一些巧妙的代数论证来完成,过程並不直观,对学生的思维转换能力要求很高。
他看到考场中已经有几位选手在尝试用不同的顏色涂抹草稿纸,但大多陷入了困境。
而徐辰,在短暂的思考后,动笔了。
他没有像其他人那样对整个10x10的棋盘进行染色,而是在草稿纸上,先画了一个3x3的方格。
然后,用三种顏色,进行了一种奇异的、从中心开始向外盘旋的螺旋式染色。
【螺旋染色?】李振华教授的眉头微微一挑。
这种染色方式他当然见过,在一些计算机图形学的算法,或者更专门的组合设计理论中,这是一种处理网格问题的非主流但有效的工具。
但是,把它用在cmo的赛场上,用在解决l形骨牌问题上?这思路太野了!
紧接著,徐辰將这个3x3的染色“模版”
,推广到了整个10x10的棋盘。
然后,李振华教授看到了让他拍案叫绝的一幕。
徐辰基於这种独特的染色方案,只用了短短几行字的论证,便得出了结论:在这种螺旋染色下,100个格子中,三种顏色的格子数分別为34,33,33。
而任何一个l形骨牌,无论它如何旋转、如何摆放,都必然会占据螺旋路径上位置相邻的三个格子(或者有特定位置关係),而根据三染色的循环规则,这三个格子的顏色,必然是红、黄、蓝各一个!
【我的天……】李振华教授感觉自己的喉咙有些发乾。
他瞬间明白了这种解法的恐怖之处。
【他……他找到了这个问题的『本徵態!
】
常规的染色法,像是用一把通用扳手去拧一颗奇形怪状的螺丝,总有些地方不匹配。
而徐辰的这种螺旋染色法,就像是专门为“l形骨牌”
这颗螺丝,量身打造的一把完美的、唯一的钥匙!
它將l形骨牌的几何特性,与染色方案的代数结构,完美地统一了起来!
因此,被骨牌覆盖的区域中,三种顏色的数量必然是相等的。
而棋盘上数量最少的那种顏色(33个),就成了木桶的短板,决定了最多只能放下33个骨牌!
所以,最多能放置33个骨牌,覆盖99个格子。
棋盘上,最多空出100-99=1个格子。
整个证明过程,简洁,优美,充满了数学的力量感。
它完全绕开了去尝试具体摆放方案的巨大工作量,直接从最抽象的结构入手,一击致命。
【妙啊……真是妙到毫巔!
】李振华教授心中讚嘆不已,【这种发现问题核心结构並为之构造工具的能力,是成为一名优秀数学家的潜质!
】
……
最后,是第三题。
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