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在康托尔以前，我们只觉得无限就是无限，吾生也有涯1，弄不清楚它就算了。
但现在想起来，实在有些可笑，无须什么证明，我们有些时候也能够感觉到，无限总集是可以不相同的。
又来举个例子：比如前面我们用来决定点的位置的直线，从O点起，尽管伸张出去，它所包含的点就是一个无限总集。
随便想去，我们就会觉得它的次数要比整数的无限总集的高，而从别的方面证明起来，也验证了我们的直觉并没有错。
这样说来，我们的直觉很值得信赖。
但是，朋友！
你不要太乐观呀，在有些时候，纯粹的直觉就会叫你上当的。
你不相信吗？比如有一个正方形，它的一边是AB。
我问你，整个正方形内的点的总集，是不是比单只一边AB上的点的总集的次数要高些呢？凭我们的直觉，总要给它一个肯定的回答，但这你上当了，仔细去证明，它们俩的次数恰好相等。
总结以上的话，你记好下面的基本的定理：“若是有了一个无限总集，我们总能够做出一个次数比它高的来。”
要证明这个定理，我们就用整数的总集来做基础，那么，所有可枚举的无限总集也就不用再证明了。
为了说明简单些，我只随意再用一个总集。
照前面说过的，整数的总集是这样：
1，2，3，4，5……n，（n+1）……
就用E代表它。
凡是用E当中的单元所做成的总集，无论所含的单元的数有限或无限，都称它们为E的“局部总集”
，所以：
这些都是E的局部总集，我们用Pn来代表它们。
第一步，凡是用E的单元能够做成的局部总集，我们都将它们做尽。
第二步，我们就来做一个新的总集C，C的每一个单元都是E的一个局部总集Pn，而且所有E的局部总集全都包含在里面。
这样一来，C便成了E的一切局部总集的总集。
你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。
我们要证明C的次数比第一个总集E的高。
因此，还要重复说一次，比较两个总集的法则，你也务必将它记好。
我们必须要对于E的每一个单元都能从C当中取一个出来和它成对。
实际上只要依下面的方法配合就够了：
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